1-数值计算导论

概述

误差分析基础

误差来源

• 数学模型误差
• 观测/测量 误差
• 截断误差：
  • 以 $f(x)=e^x$ 的拉格朗日余项的泰勒展开 $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+...$ 为例，在 $|x|\to 0$ 时，可以用 $1+x$ 作为一阶的等价无穷小来近似，此时 $\frac{x^2}{2!}{e}^{\theta x},0<\theta <1$ 就是截断误差；
• 舍入误差： 计算机中无穷小数必须化为有限位数的数字再进行运算。这种扰动几乎无法避免，因此算法需要提高对抗这种扰动的稳定性

误差及其分类

准确值 $x$ 的近似值记作 $\hat{x}$ ，则：

• 绝对误差（absolute error）：$e(\hat{x})=\hat{x}-x$ ，
• 相对误差（relative error）：$e_r(\hat{x})=\frac{\hat{x}-x}{x}$ ，

计算机浮点数系统与舍入误差

保证数值计算的准确性