30-padding-and-strides

填充和步幅

在前面的 例子 中，输入的高度和宽度都为 $3$，卷积核的高度和宽度都为 $2$，生成的输出表征的维数为 $2\times 2$ 。正如我们在 上一节 中所概括的那样，假设输入形状为 $n_h\times n_w$ ，卷积核形状为 $k_h\times k_w$ ，那么输出形状将是 $(n_h-k_h+1)\times (n_w-k_w+1)$ 。因此，卷积的输出形状取决于输入形状和卷积核的形状。

还有什么因素会影响输出的大小呢？本节我们将介绍填充（padding）和步幅（stride）。假设以下情景：

• 有时，在应用了连续的卷积之后，我们最终得到的输出远小于输入大小。这是由于卷积核的宽度和高度通常大于 $1$ 所导致的。比如，一个 $240\times 240$ 像素的图像，经过 $10$ 层 $5\times 5$ 的卷积后，将减少到 $200\times 200$ 像素。如此一来，原始图像的边界丢失了许多有用信息。而填充是解决此问题最有效的方法；
• 有时，我们可能希望大幅降低图像的宽度和高度。例如，如果我们发现原始的输入分辨率十分冗余。步幅则可以在这类情况下提供帮助。

填充

如上所述，在应用多层卷积时，我们常常丢失边缘像素。由于我们通常使用小卷积核，因此对于任何单个卷积，我们可能只会丢失几个像素。但随着我们应用许多连续卷积层，累积丢失的像素数就多了。解决这个问题的简单方法即为填充（padding）：在输入图像的边界填充元素（通常填充元素是 $0$）。

例如，在 上一节的例子 中，我们将 $3\times 3$ 输入填充到 $5\times 5$ ，那么它的输出就增加为 $4\times 4$ ：

• 
• 阴影部分是第一个输出元素以及用于输出计算的输入和核张量元素：$0\times 0+0\times 1+0\times 2+0\times 3=0$ 。

通常，如果我们添加 $p_h$ 行填充（大约一半在顶部，一半在底部）和 $p_w$ 列填充（左侧大约一半，右侧一半），则输出形状将为：

$$(n_h-k_h+p_h+1)\times (n_w-k_w+p_w+1)\text{\hspace{1em}(5.3.1)}$$

这意味着输出的高度和宽度将分别增加 $p_h$ 和 $p_w$ 。

在许多情况下，我们需要设置 $p_h=k_h-1$ 和 $p_w=k_w-1$，使输入和输出具有相同的高度和宽度。这样可以在构建网络时更容易地预测每个图层的输出形状。假设 $k_h$ 是奇数，我们将在高度的两侧填充 $p_h/2$ 行。如果 $k_h$ 是偶数，则一种可能性是在输入顶部填充 $\lceil p_h/2\rceil$ 行，在底部填充 $\lfloor p_h/2\rfloor$ 行。同理，我们填充宽度的两侧。

卷积神经网络中卷积核的高度和宽度通常为奇数，例如1、3、5或7 。选择奇数的好处是，保持空间维度的同时，我们可以在顶部和底部填充相同数量的行，在左侧和右侧填充相同数量的列。

此外，使用奇数的核大小和填充大小也提供了书写上的便利。对于任何二维张量 $\mathsf{X}$ ，当满足：

1. 卷积核的大小是奇数；
2. 所有边的填充行数和列数相同；
3. 输出与输入具有相同高度和宽度 三个条件时，则可以得出：输出 Y[i, j] 是通过以输入 X[i, j] 为中心，与卷积核进行互相关计算得到的。

比如，在下面的例子中，我们创建一个高度和宽度为3的二维卷积层，并在所有侧边填充1个像素。给定高度和宽度为8的输入，则输出的高度和宽度也是8。

import torch
from torch import nn
 
# 为了方便起见，我们定义了一个计算卷积层的函数。
# 此函数初始化卷积层权重，并对输入和输出提高和缩减相应的维数
def comp_conv2d(conv2d, X):
    # 这里的（1，1）表示批量大小和通道数都是1
    X = X.reshape((1, 1) + X.shape)
    Y = conv2d(X)
    # 省略前两个维度：批量大小和通道
    return Y.reshape(Y.shape[2:])
 
# 请注意，这里每边都填充了1行或1列，因此总共添加了2行或2列
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1)
X = torch.rand(size=(8, 8))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

当卷积核的高度和宽度不同时，我们可以填充不同的高度和宽度，使输出和输入具有相同的高度和宽度。在如下示例中，我们使用高度为5，宽度为3的卷积核，高度和宽度两边的填充分别为2和1。

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(5, 3), padding=(2, 1))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

步幅

在计算互相关时，卷积窗口从输入张量的左上角开始，向下、向右滑动。在前面的例子中，我们默认每次滑动一个元素。但是，有时候为了高效计算或是缩减采样次数，卷积窗口可以跳过中间位置，每次滑动多个元素。

我们将每次滑动元素的数量称为步幅（stride）。到目前为止，我们只使用过高度或宽度为 $1$ 的步幅，那么如何使用较大的步幅呢？

• 下图是垂直步幅为 $3$，水平步幅为 $2$ 的二维互相关运算：
• 
• 着色部分是输出元素以及用于输出计算的输入和内核张量元素：$0\times 0+0\times 1+1\times 2+2\times 3=8$、$0\times 0+6\times 1+0\times 2+0\times 3=6$ 。

可以看到，为了计算输出中第一列的第二个元素和第一行的第二个元素，卷积窗口分别向下滑动三行和向右滑动两列。但是，当卷积窗口继续向右滑动两列时，没有输出，因为输入元素无法填充窗口（除非我们添加另一列填充）。

通常，当垂直步幅为 $s_h$、水平步幅为 $s_w$ 时，输出形状为：

$$\lfloor (n_h-k_h+p_h+s_h)/s_h\rfloor \times \lfloor (n_w-k_w+p_w+s_w)/s_w\rfloor .\text{\hspace{1em}(5.3.2)}$$

如果我们设置了 $p_h=k_h-1$ 和 $p_w=k_w-1$，则输出形状将简化为：

$$\lfloor (n_h+s_h-1)/s_h\rfloor \times \lfloor (n_w+s_w-1)/s_w\rfloor \text{\hspace{1em}(5.3.3)}$$

更进一步，如果输入的高度和宽度可以被垂直和水平步幅整除，则输出形状将为：

$$(n_h/s_h)\times (n_w/s_w)\text{\hspace{1em}(5.3.4)}$$

下面，我们将高度和宽度的步幅设置为 2 ，从而将输入的高度和宽度减半。

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1, stride=2)
comp_conv2d(conv2d, X).shape

接下来，看一个稍微复杂的例子。

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 5), padding=(0, 1), stride=(3, 4))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

• 为了简洁起见，当输入高度和宽度两侧的填充数量分别为 $p_h$ 和 $p_w$ 时，我们称之为填充 $(p_h,p_w)$ 。当 $p_h=p_w=p$ 时，填充是 $p$ 。
• 同理，当高度和宽度上的步幅分别为 $s_h$ 和 $s_w$ 时，我们称之为步幅 $(s_h,s_w)$ 。特别地，当 $s_h=s_w=s$ 时，我们称步幅为 $s$ 。
• 默认情况下，填充为0，步幅为1。在实践中，我们很少使用不一致的步幅或填充，也就是说，我们通常有 $p_h=p_w$ 和 $s_h=s_w$。

小结

• 填充可以增加输出的高度和宽度。这常用来使输出与输入具有相同的高和宽。
• 步幅可以减小输出的高和宽，例如输出的高和宽仅为输入的高和宽的$1/n$（$n$是一个大于$1$的整数）。
• 填充和步幅可用于有效地调整数据的维度。

练习

1. 对于本节中的最后一个示例，计算其输出形状，以查看它是否与实验结果一致。
2. 在本节中的实验中，试一试其他填充和步幅组合。
3. 对于音频信号，步幅$2$说明什么？

在音频信号中，这里应该是指经采样后的离散数字信号x(n)，步幅为2就是以2为周期对信号进行采样计算得到x(n/2)，在频域上为F(2w)即fmax提高为原来的两倍

4. 步幅大于$1$的计算优势是什么？

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