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softmax回归的简洁实现

在 2.3 节 中，我们发现通过深度学习框架的高级 API 能够使实现线性回归变得更加容易。同样，通过深度学习框架的高级 API 也能更方便地实现 softmax 回归模型。本节如在 2.6 节 中一样，继续使用 Fashion-MNIST 数据集，并保持批量大小为256 。

from d2l import torch as d2l
import torch
from torch import nn
 
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

初始化模型参数

如我们在 2.4 节 所述，softmax 回归的输出层是一个全连接层。因此，为了实现我们的模型，我们只需在 Sequential 中添加一个带有10个输出的全连接层。同样，在这里 Sequential 并不是必要的，但它是实现深度模型的基础。我们仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重。

# PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此，
# 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))
 
def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)
 
net.apply(init_weights);

重新审视 Softmax 的实现

在前面 2.6 节 的例子中，我们计算了模型的输出，然后将此输出送入交叉熵损失。从数学上讲，这是一件完全合理的事情。然而，从计算角度来看，指数可能会造成数值稳定性问题。

回想一下，softmax 函数 ${\hat{y}}_j=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_k\exp (o_k)}$ ，其中 ${\hat{y}}_j$ 是预测的概率分布。$o_j$ 是未规范化的预测 $\mathbf{o}$ 的第 $j$ 个元素。如果 $o_k$ 中的一些数值非常大，那么 $\exp (o_k)$ 可能大于数据类型容许的最大数字，即上溢（overflow）。这将使分母或分子变为 inf（无穷大），最后得到的是0、inf 或 nan（不是数字）的 ${\hat{y}}_j$。在这些情况下，我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。

解决这个问题的一个技巧是：在继续 softmax 计算之前，先从所有 $o_k$ 中减去 $\max (o_k)$ 。这里可以看到每个 $o_k$ 按常数进行的移动不会改变 softmax 的返回值：

$$\begin{array}{rl}{\hat{y}}_j& =\frac{\exp (o_j-\max (o_k))\exp (\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))\exp (\max (o_k))}\\ & =\frac{\exp (o_j-\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))}.\end{array}\text{\hspace{1em}(2.7.1)}$$

在减法和规范化步骤之后，可能有些 $o_j-\max (o_k)$ 具有较大的负值。由于精度受限，$\exp (o_j-\max (o_k))$ 将有接近零的值，即下溢（underflow）。这些值可能会四舍五入为零，使 ${\hat{y}}_j$ 为零，并且使得 $\log ({\hat{y}}_j)$ 的值为 -inf。反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的 nan 结果。

尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。通过将 softmax 和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。如下面的等式所示，我们避免计算 $\exp (o_j-\max (o_k))$，而可以直接使用 $o_j-\max (o_k)$，因为 $\log (\exp (\cdot ))$ 被抵消了。

$$\begin{array}{rl}\log ({\hat{y}}_j)& =\log \left(\frac{\exp (o_j-\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))}\right)\\ & =\log (\exp (o_j-\max (o_k)))-\log \left(\sum _k\exp (o_k-\max (o_k))\right)\\ & =o_j-\max (o_k)-\log \left(\sum _k\exp (o_k-\max (o_k))\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(2.7.2)}$$

我们也希望保留传统的 softmax 函数，以备我们需要评估通过模型输出的概率。但是，我们没有将 softmax 概率传递到损失函数中，而是在交叉熵损失函数中传递未规范化的预测，并同时计算 softmax 及其对数，这是一种类似 “LogSumExp技巧” 的聪明方式。

loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')

优化算法

在这里，我们使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法。这与我们在线性回归例子中的相同，这说明了优化器的普适性。

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)

训练

接下来我们调用 2.6 节 中定义的训练函数来训练模型。

num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

和以前一样，这个算法使结果收敛到一个相当高的精度，而且这次的代码比之前更精简了。

小结

• 使用深度学习框架的高级 API，我们可以更简洁地实现 softmax 回归。
• 从计算的角度来看，实现 softmax 回归比较复杂。在许多情况下，深度学习框架在这些著名的技巧之外采取了额外的预防措施，来确保数值的稳定性。这使我们避免了在实践中从零开始编写模型时可能遇到的陷阱。

练习

1. 尝试调整超参数，例如批量大小、迭代周期数和学习率，并查看结果。
2. 增加迭代周期的数量。为什么测试精度会在一段时间后降低？我们怎么解决这个问题？

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