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注意力评分函数

上一节 使用了高斯核来对查询和键之间的关系建模。其中的高斯核指数部分 （式9.2.6）可以视为注意力评分函数（attention scoring function），简称评分函数（scoring function），然后把这个函数的输出结果输入到 softmax 函数中进行运算。通过上述步骤，将得到与键对应的值的概率分布（即注意力权重）。最后，注意力汇聚的输出就是基于这些注意力权重的值的加权和。

从宏观来看，上述算法可以用来实现 9.1 节 中的注意力机制框架。下图说明了如何将注意力汇聚的输出计算成为值的加权和：

• 
• 其中 $a$ 表示注意力评分函数。由于注意力权重是概率分布，因此加权和其本质上是加权平均值。

用数学语言描述，假设有一个查询 $\mathbf{q}\in {\mathbb{R}}^q$ 和 $m$ 个“键－值”对 $({\mathbf{k}}_1,{\mathbf{v}}_1),\dots ,({\mathbf{k}}_m,{\mathbf{v}}_m)$，其中 ${\mathbf{k}}_i\in {\mathbb{R}}^k$，${\mathbf{v}}_i\in {\mathbb{R}}^v$。注意力汇聚函数 $f$ 就被表示成值的加权和：

$$f(\mathbf{q},({\mathbf{k}}_1,{\mathbf{v}}_1),\dots ,({\mathbf{k}}_m,{\mathbf{v}}_m))=\sum _{i=1}^m\alpha (\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i){\mathbf{v}}_i\in {\mathbb{R}}^v,\text{\hspace{1em}(9.3.1)}$$

其中查询 $\mathbf{q}$ 和键 ${\mathbf{k}}_i$ 的注意力权重（标量）是通过注意力评分函数 $a$ 将两个向量映射成标量，再经过 softmax 运算得到的：

$$\alpha (\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i)=\mathrm{softmax}(a(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i))=\frac{\exp (a(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i))}{{\sum }_{j=1}^m\exp (a(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_j))}\in \mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(9.3.2)}$$

正如上图所示，选择不同的注意力评分函数$a$会导致不同的注意力汇聚操作。本节将介绍两个流行的评分函数，稍后将用他们来实现更复杂的注意力机制。

from d2l import torch as d2l
import math
import torch
from torch import nn

掩蔽softmax操作

正如上面提到的，softmax 操作用于输出一个概率分布作为注意力权重。在某些情况下，并非所有的值都应该被纳入到注意力汇聚中。例如，为了在 机器翻译 中高效处理小批量数据集，某些文本序列被填充了没有意义的特殊词元。为了仅将有意义的词元作为值来获取注意力汇聚，可以指定一个有效序列长度（即词元的个数），以便在计算 softmax 时过滤掉超出指定范围的位置。下面的 masked_softmax 函数实现了这样的掩蔽 softmax 操作（masked softmax operation），其中任何超出有效长度的位置都被掩蔽并置为0。

#@save
def masked_softmax(X, valid_lens):
    """通过在最后一个轴上掩蔽元素来执行softmax操作"""
    # X:3D张量，valid_lens:1D或2D张量
    if valid_lens is None:
        return nn.functional.softmax(X, dim=-1)
    else:
        shape = X.shape
        if valid_lens.dim() == 1:
            valid_lens = torch.repeat_interleave(valid_lens, shape[1])
        else:
            valid_lens = valid_lens.reshape(-1)
        # 最后一轴上被掩蔽的元素使用一个非常大的负值替换，从而其softmax输出为0
        X = d2l.sequence_mask(X.reshape(-1, shape[-1]), valid_lens,
                              value=-1e6)
        return nn.functional.softmax(X.reshape(shape), dim=-1)

为了演示此函数是如何工作的，考虑由两个 $2\times 4$ 矩阵表示的样本，这两个样本的有效长度分别为 $2$ 和 $3$。经过掩蔽 softmax 操作，超出有效长度的值都被掩蔽为0。

masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([2, 3]))

同样，也可以使用二维张量，为矩阵样本中的每一行指定有效长度。

masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), d2l.tensor([[1, 3], [2, 4]]))

加性注意力

一般来说，当查询和键是不同长度的矢量时，可以使用加性注意力作为评分函数。 给定查询 $\mathbf{q}\in {\mathbb{R}}^q$ 和键 $\mathbf{k}\in {\mathbb{R}}^k$，加性注意力（additive attention）的评分函数为

$$a(\mathbf{q},\mathbf{k})={\mathbf{w}}_v^{\top }\text{tanh}({\mathbf{W}}_q\mathbf{q}+{\mathbf{W}}_k\mathbf{k})\in \mathbb{R},\text{\hspace{1em}(9.3.3)}$$

其中可学习的参数是 ${\mathbf{W}}_q\in {\mathbb{R}}^{h\times q}$、${\mathbf{W}}_k\in {\mathbb{R}}^{h\times k}$ 和 ${\mathbf{w}}_v\in {\mathbb{R}}^h$。如上式所示，将查询和键连结起来后输入到一个多层感知机（MLP）中，感知机包含一个隐藏层，其隐藏单元数是一个超参数 $h$。通过使用 $\tanh$ 作为激活函数，并且禁用偏置项。

下面来实现加性注意力。

#@save
class AdditiveAttention(nn.Module):
    """加性注意力"""
    def __init__(self, key_size, query_size, num_hiddens, dropout, **kwargs):
        super(AdditiveAttention, self).__init__(**kwargs)
        self.W_k = nn.Linear(key_size, num_hiddens, bias=False)
        self.W_q = nn.Linear(query_size, num_hiddens, bias=False)
        self.w_v = nn.Linear(num_hiddens, 1, bias=False)
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)
 
    def forward(self, queries, keys, values, valid_lens):
        queries, keys = self.W_q(queries), self.W_k(keys)
        # 在维度扩展后，
        # queries的形状：(batch_size，查询的个数，1，num_hidden)
        # key的形状：(batch_size，1，“键－值”对的个数，num_hiddens)
        # 使用广播方式进行求和
        features = queries.unsqueeze(2) + keys.unsqueeze(1)
        features = torch.tanh(features)
        # self.w_v仅有一个输出，因此从形状中移除最后那个维度。
        # scores的形状：(batch_size，查询的个数，“键-值”对的个数)
        scores = self.w_v(features).squeeze(-1)
        self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)
        # values的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，值的维度)
        return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)

用一个小例子来演示上面的 AdditiveAttention 类，其中查询、键和值的形状为（批量大小，步数或词元序列长度，特征大小），实际输出为 $(2,1,20)$、$(2,10,2)$ 和 $(2,10,4)$。注意力汇聚输出的形状为（批量大小，查询的步数，值的维度）。

queries, keys = d2l.normal(0, 1, (2, 1, 20)), d2l.ones((2, 10, 2))
# values的小批量，两个值矩阵是相同的
values = torch.arange(40, dtype=torch.float32).reshape(1, 10, 4).repeat(
    2, 1, 1)
valid_lens = d2l.tensor([2, 6])
 
attention = AdditiveAttention(key_size=2, query_size=20, num_hiddens=8,
                              dropout=0.1)
attention.eval()
attention(queries, keys, values, valid_lens)

tensor([[[ 2.0000,  3.0000,  4.0000,  5.0000]],
 
        [[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]], grad_fn=<BmmBackward0>)

尽管加性注意力包含了可学习的参数，但由于本例子中每个键都是相同的，所以注意力权重是均匀的，由指定的有效长度决定。

d2l.show_heatmaps(d2l.reshape(attention.attention_weights, (1, 1, 2, 10)),
                  xlabel='Keys', ylabel='Queries')

缩放点积注意力

使用点积可以得到计算效率更高的评分函数，但是点积操作要求查询和键具有相同的长度 $d$ 。假设查询和键的所有元素都是独立的随机变量，并且都满足零均值和单位方差，那么两个向量的点积的均值为 $0$，方差为 $d$。为确保无论向量长度如何，点积的方差在不考虑向量长度的情况下仍然是 $1$，我们再将点积除以 $\sqrt{d}$，则缩放点积注意力（scaled dot-product attention）评分函数为：

$$a(\mathbf{q},\mathbf{k})=\frac{{\mathbf{q}}^{\top }\mathbf{k}}{\sqrt{d}}.\text{\hspace{1em}(9.3.4)}$$

在实践中，我们通常从小批量的角度来考虑提高效率，例如基于 $n$ 个查询和 $m$ 个键－值对计算注意力，其中查询和键的长度为 $d$，值的长度为 $v$。查询 $\mathbf{Q}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$、键 $\mathbf{K}\in {\mathbb{R}}^{m\times d}$ 和值 $\mathbf{V}\in {\mathbb{R}}^{m\times v}$ 的缩放点积注意力是：

$$\mathrm{softmax}\left(\frac{\mathbf{Q}{\mathbf{K}}^{\top }}{\sqrt{d}}\right)\mathbf{V}\in {\mathbb{R}}^{n\times v}.\text{\hspace{1em}(9.3.5)}$$

下面的缩放点积注意力的实现使用了暂退法进行模型正则化。

#@save
class DotProductAttention(nn.Module):
    """缩放点积注意力"""
    def __init__(self, dropout, **kwargs):
        super(DotProductAttention, self).__init__(**kwargs)
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)
 
    # queries的形状：(batch_size，查询的个数，d)
    # keys的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，d)
    # values的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，值的维度)
    # valid_lens的形状:(batch_size，)或者(batch_size，查询的个数)
    def forward(self, queries, keys, values, valid_lens=None):
        d = queries.shape[-1]
        # 设置transpose_b=True为了交换keys的最后两个维度
        scores = torch.bmm(queries, keys.transpose(1,2)) / math.sqrt(d)
        self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)
        return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)

为了演示上述的 DotProductAttention 类，我们使用与先前加性注意力例子中相同的键、值和有效长度。对于点积操作，我们令查询的特征维度与键的特征维度大小相同。

queries = d2l.normal(0, 1, (2, 1, 2))
attention = DotProductAttention(dropout=0.5)
attention.eval()
attention(queries, keys, values, valid_lens)

tensor([[[ 2.0000,  3.0000,  4.0000,  5.0000]],
 
        [[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]])

与加性注意力演示相同，由于键包含的是相同的元素，而这些元素无法通过任何查询进行区分，因此获得了均匀的注意力权重。

d2l.show_heatmaps(d2l.reshape(attention.attention_weights, (1, 1, 2, 10)),
                  xlabel='Keys', ylabel='Queries')

小结

• 将注意力汇聚的输出计算可以作为值的加权平均，选择不同的注意力评分函数会带来不同的注意力汇聚操作。
• 当查询和键是不同长度的矢量时，可以使用可加性注意力评分函数。当它们的长度相同时，使用缩放的“点－积”注意力评分函数的计算效率更高。

练习

1. 修改小例子中的键，并且可视化注意力权重。可加性注意力和缩放的“点－积”注意力是否仍然产生相同的结果？为什么？
2. 只使用矩阵乘法，能否为具有不同矢量长度的查询和键设计新的评分函数？
3. 当查询和键具有相同的矢量长度时，矢量求和作为评分函数是否比“点－积”更好？为什么？

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:begin_tab:paddle Discussions :end_tab: