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残差网络（ResNet）

随着我们设计越来越深的网络，深刻理解“新添加的层如何提升神经网络的性能”变得至关重要。更重要的是设计网络的能力，在这种网络中，添加层会使网络更具表现力，为了取得质的突破，我们需要一些数学基础知识。

函数类

首先，假设有一类特定的神经网络架构 $\mathcal{F}$，它包括学习速率和其他超参数设置。对于所有 $f\in \mathcal{F}$，存在一些参数集（例如权重和偏置），这些参数可以通过在合适的数据集上进行训练而获得。现在假设 $f^{\ast }$ 是我们真正想要找到的函数，如果是 $f^{\ast }\in \mathcal{F}$，那我们可以轻而易举的训练得到它，但通常我们不会那么幸运。相反，我们将尝试找到一个函数 $f_{\mathcal{F}}^{\ast }$，这是我们在 $\mathcal{F}$ 中的最佳选择。例如，给定一个具有 $\mathbf{X}$ 特性和 $\mathbf{y}$ 标签的数据集，我们可以尝试通过解决以下优化问题来找到它：

$$f_{\mathcal{F}}^{\ast }:={\mathrm{argmin}}_{f}L(\mathbf{X},\mathbf{y},f)\text{ subject to }f\in \mathcal{F}.\text{\hspace{1em}(6.6.1)}$$

那么，怎样得到更近似真正 $f^{\ast }$ 的函数呢？唯一合理的可能性是，我们需要设计一个更强大的架构 ${\mathcal{F}}^{\prime }$。换句话说，我们预计 $f_{{\mathcal{F}}^{\prime }}^{\ast }$ 比 $f_{\mathcal{F}}^{\ast }$ “更近似”。然而，如果 $\mathcal{F}⊈{\mathcal{F}}^{\prime }$，则无法保证新的体系“更近似”。事实上，$f_{{\mathcal{F}}^{\prime }}^{\ast }$ 可能更糟，如下图所示：

• 架构的复杂度由 ${\mathcal{F}}_1$ 向 ${\mathcal{F}}_6$ 递增
• 对于非嵌套函数（non-nested function）类，较复杂（由较大区域表示）的函数类不能保证更接近“真”函数 $f^{\ast }$ 。而这种现象在嵌套函数类中不会发生
• 在左图中，虽然 ${\mathcal{F}}_3$ 比 ${\mathcal{F}}_1$ 更接近 $f^{\ast }$，但 ${\mathcal{F}}_6$ 却离的更远了；相反对于 右图的嵌套函数（nested function）类 ${\mathcal{F}}_1\subseteq \dots \subseteq {\mathcal{F}}_6$，我们可以避免上述问题。

因此，只有当较复杂的函数类包含较小的函数类时，我们才能确保提高它们的性能。对于深度神经网络，如果我们能将新添加的层训练成恒等映射（identity function）$f(\mathbf{x})=\mathbf{x}$ ，新模型和原模型将同样有效。同时，由于新模型可能得出更优的解来拟合训练数据集，因此添加层似乎更容易降低训练误差。

针对这一问题，何恺明等人提出了残差网络¹（ResNet）。它在2015年的ImageNet图像识别挑战赛夺魁，并深刻影响了后来的深度神经网络的设计。残差网络的核心思想是：每个附加层都应该更容易地包含原始函数作为其元素之一。于是，残差块（residual blocks）便诞生了，这个设计对如何建立深层神经网络产生了深远的影响。凭借它，ResNet赢得了2015年ImageNet大规模视觉识别挑战赛。

残差块

让我们聚焦于神经网络局部，如图所示：

• 一个正常块（左图）和一个残差块（右图）：
• 假设我们的原始输入为 $x$，而希望学习得到的理想映射为 $f(\mathbf{x})$（作为上图激活函数的输入）。
• 左图虚线框中的部分需要直接拟合出该映射 $f(\mathbf{x})$，而右图虚线框中的部分则需要拟合出残差映射 $f(\mathbf{x})-\mathbf{x}$ 。
• 残差映射在现实中往往更容易优化。以本节开头提到的恒等映射作为我们希望学出的理想映射 $f(\mathbf{x})$，我们只需将右图虚线框内上方的加权运算（如仿射）的权重和偏置参数设成0，那么 $f(\mathbf{x})$ 即为恒等映射 。
• 实际中，当理想映射$f(\mathbf{x})$极接近于恒等映射时，残差映射也易于捕捉恒等映射的细微波动。
• 右图是 ResNet 的基础架构——残差块（residual block）。在残差块中，输入可通过跨层数据线路更快地向前传播。

ResNet 沿用了 VGG 完整的 $3\times 3$ 卷积层设计。残差块里首先有2个有相同输出通道数的 $3\times 3$ 卷积层。每个卷积层后接一个批量规范化层和 ReLU 激活函数。然后我们通过跨层数据通路，跳过这2个卷积运算，将输入直接加在最后的 ReLU 激活函数前。这样的设计要求2个卷积层的输出与输入形状一样，从而使它们可以相加。如果想改变通道数，就需要引入一个额外的 $1\times 1$ 卷积层来将输入变换成需要的形状后再做相加运算。残差块的实现如下：

from d2l import torch as d2l
import torch
from torch import nn
from torch.nn import functional as F
 
class Residual(nn.Module):  #@save
    def __init__(self, input_channels, num_channels,
                 use_1x1conv=False, strides=1):
        super().__init__()
        self.conv1 = nn.Conv2d(input_channels, num_channels,
                               kernel_size=3, padding=1, stride=strides)
        self.conv2 = nn.Conv2d(num_channels, num_channels,
                               kernel_size=3, padding=1)
        if use_1x1conv:
            self.conv3 = nn.Conv2d(input_channels, num_channels,
                                   kernel_size=1, stride=strides)
        else:
            self.conv3 = None
        self.bn1 = nn.BatchNorm2d(num_channels)
        self.bn2 = nn.BatchNorm2d(num_channels)
 
    def forward(self, X):
        Y = F.relu(self.bn1(self.conv1(X)))
        Y = self.bn2(self.conv2(Y))
        if self.conv3:
            X = self.conv3(X)
        Y += X
        return F.relu(Y)

如下图所示，此代码生成两种类型的网络：

• 
• 一种是当 use_1x1conv=False 时，应用 ReLU 非线性函数之前，将输入添加到输出。
• 另一种是当 use_1x1conv=True 时，添加通过 $1\times 1$ 卷积调整通道和分辨率。

下面我们来查看输入和输出形状一致的情况。

blk = Residual(3,3)
X = torch.rand(4, 3, 6, 6)
Y = blk(X)
Y.shape

torch.Size([4, 3, 6, 6])

我们也可以在增加输出通道数的同时，减半输出的高和宽。

blk = Residual(3,6, use_1x1conv=True, strides=2)
blk(X).shape

torch.Size([4, 6, 3, 3])

ResNet模型

ResNet 的前两层跟之前介绍的 GoogLeNet 中的一样：在输出通道数为64、步幅为2的 $7\times 7$ 卷积层后，接步幅为2的 $3\times 3$ 的最大汇聚层。不同之处在于 ResNet 每个卷积层后增加了批量规范化层。

b1 = nn.Sequential(nn.Conv2d(1, 64, kernel_size=7, stride=2, padding=3),
                   nn.BatchNorm2d(64), nn.ReLU(),
                   nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2, padding=1))

GoogLeNet 在后面接了4个由 Inception 块组成的模块。ResNet 则使用4个由残差块组成的模块，每个模块使用若干个同样输出通道数的残差块。第一个模块的通道数同输入通道数一致。由于之前已经使用了步幅为2的最大汇聚层，所以无须减小高和宽。之后的每个模块在第一个残差块里将上一个模块的通道数翻倍，并将高和宽减半。

下面我们来实现这个模块。注意，我们对第一个模块做了特别处理。

def resnet_block(input_channels, num_channels, num_residuals,
                 first_block=False):
    blk = []
    for i in range(num_residuals):
        if i == 0 and not first_block:
            blk.append(Residual(input_channels, num_channels,
                                use_1x1conv=True, strides=2))
        else:
            blk.append(Residual(num_channels, num_channels))
    return blk

接着在ResNet加入所有残差块，这里每个模块使用2个残差块。

b2 = nn.Sequential(*resnet_block(64, 64, 2, first_block=True))
b3 = nn.Sequential(*resnet_block(64, 128, 2))
b4 = nn.Sequential(*resnet_block(128, 256, 2))
b5 = nn.Sequential(*resnet_block(256, 512, 2))

最后，与GoogLeNet一样，在ResNet中加入全局平均汇聚层，以及全连接层输出。

net = nn.Sequential(b1, b2, b3, b4, b5,
                    nn.AdaptiveAvgPool2d((1,1)),
                    nn.Flatten(), nn.Linear(512, 10))

每个模块有4个卷积层（不包括恒等映射的 $1\times 1$ 卷积层）。加上第一个 $7\times 7$ 卷积层和最后一个全连接层，共有18层。因此，这种模型通常被称为 ResNet-18。通过配置不同的通道数和模块里的残差块数可以得到不同的 ResNet 模型，例如更深的含152层的 ResNet-152。虽然 ResNet 的主体架构跟 GoogLeNet 类似，但 ResNet 架构更简单，修改也更方便。这些因素都导致了 ResNet 迅速被广泛使用。

下图描述了完整的 ResNet-18。

在训练 ResNet 之前，让我们观察一下 ResNet 中不同模块的输入形状是如何变化的。在之前所有架构中，分辨率降低，通道数量增加，直到全局平均汇聚层聚集所有特征。

X = torch.rand(size=(1, 1, 224, 224))
for layer in net:
    X = layer(X)
    print(layer.__class__.__name__,'output shape:\t', X.shape)

Sequential output shape:	 torch.Size([1, 64, 56, 56])
Sequential output shape:	 torch.Size([1, 64, 56, 56])
Sequential output shape:	 torch.Size([1, 128, 28, 28])
Sequential output shape:	 torch.Size([1, 256, 14, 14])
Sequential output shape:	 torch.Size([1, 512, 7, 7])
AdaptiveAvgPool2d output shape:	 torch.Size([1, 512, 1, 1])
Flatten output shape:	 torch.Size([1, 512])
Linear output shape:	 torch.Size([1, 10])
 

训练模型

同之前一样，我们在 Fashion-MNIST 数据集上训练 ResNet 。

lr, num_epochs, batch_size = 0.05, 10, 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=96)
d2l.train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())

loss 0.009, train acc 0.998, test acc 0.919
1652.5 examples/sec on cuda:0
 

训练时间 6min 38s ，占用显存 1700MB 。

小结

• 学习嵌套函数（nested function）是训练神经网络的理想情况。在深层神经网络中，学习另一层作为恒等映射（identity function）较容易（尽管这是一个极端情况）。
• 残差映射可以更容易地学习同一函数，例如将权重层中的参数近似为零。
• 利用残差块（residual blocks）可以训练出一个有效的深层神经网络：输入可以通过层间的残余连接更快地向前传播。
• 残差网络（ResNet）对随后的深层神经网络设计产生了深远影响。

练习

1. Inception块与残差块之间的主要区别是什么？在删除了Inception块中的一些路径之后，它们是如何相互关联的？
2. 参考 ResNet 论文¹中的表1，以实现不同的变体。
3. 对于更深层次的网络，ResNet引入了“bottleneck”架构来降低模型复杂性。请试着去实现它。
4. 在ResNet的后续版本中，作者将“卷积层、批量规范化层和激活层”架构更改为“批量规范化层、激活层和卷积层”架构。请尝试做这个改进。详见²中的图1。
5. 为什么即使函数类是嵌套的，我们仍然要限制增加函数的复杂性呢？

Discussions

Footnotes

1. He K, Zhang X, Ren S, et al. Deep residual learning for image recognition[C]//Proceedings of the IEEE conference on computer vision and pattern recognition. 2016: 770-778. ↩ ↩²

2. He K, Zhang X, Ren S, et al. Identity mappings in deep residual networks[C]//Computer Vision–ECCV 2016: 14th European Conference, Amsterdam, The Netherlands, October 11–14, 2016, Proceedings, Part IV 14. Springer International Publishing, 2016: 630-645. ↩