70-backprop

前向传播、反向传播和计算图

我们已经学习了如何用小批量随机梯度下降训练模型。然而当实现该算法时，我们只考虑了通过前向传播（forward propagation）所涉及的计算。在计算梯度时，我们只调用了深度学习框架提供的反向传播函数，而不知其所以然。

梯度的自动计算（自动微分）大大简化了深度学习算法的实现。在自动微分之前，即使是对复杂模型的微小调整也需要手工重新计算复杂的导数，学术论文也不得不分配大量页面来推导更新规则。本节将通过一些基本的数学和计算图，深入探讨反向传播的细节。首先，我们将重点放在带权重衰减（$L_2$ 正则化）的单隐藏层多层感知机上。

前向传播

前向传播（forward propagation或forward pass）指的是：按顺序（从输入层到输出层）计算和存储神经网络中每层的结果。

我们将一步步研究单隐藏层神经网络的机制，为了简单起见，我们假设输入样本是 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d$ ，并且我们的隐藏层不包括偏置项。这里的中间变量是：

$$\mathbf{z}={\mathbf{W}}^{(1)}\mathbf{x},\text{\hspace{1em}(3.7.1)}$$

其中 ${\mathbf{W}}^{(1)}\in {\mathbb{R}}^{h\times d}$ 是隐藏层的权重参数。

将中间变量 $\mathbf{z}\in {\mathbb{R}}^h$ 通过激活函数 $\varphi$ 后，我们得到长度为 $h$ 的隐藏激活向量：

$$\mathbf{h}=\varphi (\mathbf{z}).\text{\hspace{1em}(3.7.2)}$$

隐藏变量 $\mathbf{h}$ 也是一个中间变量。

假设输出层的参数只有权重 ${\mathbf{W}}^{(2)}\in {\mathbb{R}}^{q\times h}$ ，我们可以得到输出层变量，它是一个长度为 $q$ 的向量：

\mathbf{o}= \mathbf{W}^{(2)} \mathbf{h}.\tag{3.7.3}$$ 假设损失函数为 $l$，样本标签为 $y$，我们可以计算单个数据样本的损失项，

L = l(\mathbf{o}, y).\tag{3.7.4}

根据 $L_2$ 正则化的定义，给定超参数 $\lambda$，正则化项为

s = \frac{\lambda}{2} \left(|\mathbf{W}^{(1)}|_F^2 + |\mathbf{W}^{(2)}|_F^2\right),\tag{3.7.5}

其中矩阵的 Frobenius 范数是将矩阵展平为向量后应用的 $L_2$ 范数。 最后，模型在给定数据样本上的正则化损失为：

J = L + s.\tag{3.7.6}

在下面的讨论中，我们将 $J$ 称为*目标函数*（objective function）。 ## 前向传播计算图 绘制*计算图*有助于我们可视化计算中操作符和变量的依赖关系。下图是与上述简单网络相对应的计算图： - 前向传播计算图： ![[70-backprop-forward.svg]] - 其中正方形表示变量，圆圈表示操作符。左下角表示输入，右上角表示输出。注意显示数据流的箭头方向主要是向右和向上的。 ## 反向传播 *反向传播*（backward propagation 或 backpropagation）指的是计算神经网络参数梯度的方法。简言之，该方法根据微积分中的*链式规则*，按相反的顺序从输出层到输入层遍历网络。该算法存储了计算某些参数梯度时所需的任何中间变量（偏导数）。假设我们有函数 $\mathsf{Y}=f(\mathsf{X})$ 和 $\mathsf{Z}=g(\mathsf{Y})$，其中输入和输出 $\mathsf{X}, \mathsf{Y}, \mathsf{Z}$ 是任意形状的张量。利用链式法则，我们可以计算 $\mathsf{Z}$ 关于 $\mathsf{X}$ 的导数：

\frac{\partial \mathsf{Z}}{\partial \mathsf{X}} = \text{prod}\left(\frac{\partial \mathsf{Z}}{\partial \mathsf{Y}}, \frac{\partial \mathsf{Y}}{\partial \mathsf{X}}\right).\tag{3.7.7}

在这里，我们使用 $\text{prod}$ 运算符在执行必要的操作（如换位和交换输入位置）后将其参数相乘。对于向量，这很简单，它只是矩阵-矩阵乘法。对于高维张量，我们使用适当的对应项。运算符 $\text{prod}$ 指代了所有的这些符号。 回想一下，在上面 [[70-backprop-forward.svg|计算图]] 中的单隐藏层简单网络的参数是 $\mathbf{W}^{(1)}$ 和 $\mathbf{W}^{(2)}$。反向传播的目的是计算梯度 $\partial J/\partial \mathbf{W}^{(1)}$ 和 $\partial J/\partial \mathbf{W}^{(2)}$。为此，我们应用链式法则，依次计算每个中间变量和参数的梯度。计算的顺序与前向传播中执行的顺序相反，因为我们需要从计算图的结果开始，并朝着参数的方向努力。第一步是计算目标函数 $J=L+s$ 相对于损失项 $L$ 和正则项 $s$ 的梯度。

\frac{\partial J}{\partial L} = 1 ; \text{and} ; \frac{\partial J}{\partial s} = 1.\tag{3.7.8}

接下来，我们根据链式法则计算目标函数关于输出层变量 $\mathbf{o}$ 的梯度：

\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial L}, \frac{\partial L}{\partial \mathbf{o}}\right) = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{o}} \in \mathbb{R}^q.\tag{3.7.9}

$$接下来，我们计算正则化项相对于两个参数的梯度：$$

\frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(1)}} = \lambda \mathbf{W}^{(1)} ; \text{and} ; \frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(2)}} = \lambda \mathbf{W}^{(2)}.\tag{3.7.10}

现在我们可以计算最接近输出层的模型参数的梯度 $\partial J/\partial \mathbf{W}^{(2)} \in \mathbb{R}^{q \times h}$ 。使用链式法则得出：

\frac{\partial J}{\partial \mathbf{W}^{(2)}}= \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}}, \frac{\partial \mathbf{o}}{\partial \mathbf{W}^{(2)}}\right) + \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial s}, \frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(2)}}\right)= \frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}} \mathbf{h}^\top + \lambda \mathbf{W}^{(2)}.\tag{3.7.11}

为了获得关于 $\mathbf{W}^{(1)}$ 的梯度，我们需要继续沿着输出层到隐藏层反向传播。关于隐藏层输出的梯度 $\partial J/\partial \mathbf{h} \in \mathbb{R}^h$ 由下式给出：

\frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}}, \frac{\partial \mathbf{o}}{\partial \mathbf{h}}\right) = {\mathbf{W}^{(2)}}^\top \frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}}.\tag{3.7.12}

由于激活函数 $\phi$ 是按元素计算的，计算中间变量 $\mathbf{z}$ 的梯度 $\partial J/\partial \mathbf{z} \in \mathbb{R}^h$ 需要使用按元素乘法运算符，我们用 $\odot$ 表示：

\frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}}, \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{z}}\right) = \frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}} \odot \phi’\left(\mathbf{z}\right).\tag{3.7.13}

最后，我们可以得到最接近输入层的模型参数的梯度 $\partial J/\partial \mathbf{W}^{(1)} \in \mathbb{R}^{h \times d}$。根据链式法则，我们得到：

\frac{\partial J}{\partial \mathbf{W}^{(1)}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}}, \frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{W}^{(1)}}\right) + \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial s}, \frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(1)}}\right) = \frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}} \mathbf{x}^\top + \lambda \mathbf{W}^{(1)}.\tag{3.7.14}

## 训练神经网络 在训练神经网络时，前向传播和反向传播相互依赖。对于前向传播，我们沿着依赖的方向遍历计算图并计算其路径上的所有变量。然后将这些用于反向传播，其中计算顺序与计算图的相反。 以上述简单网络为例： - 一方面，在前向传播期间计算正则项 `(3.7.5)` 取决于模型参数 $\mathbf{W}^{(1)}$ 和 $\mathbf{W}^{(2)}$ 的当前值。它们是由优化算法根据最近迭代的反向传播给出的。 - 另一方面，反向传播期间参数 `(3.7.11)` 的梯度计算，取决于由前向传播给出的隐藏变量$\mathbf{h}$的当前值。 因此，在训练神经网络时，在初始化模型参数后，我们交替使用前向传播和反向传播，利用反向传播给出的梯度来更新模型参数。注意，反向传播重复利用前向传播中存储的中间值，以避免重复计算。带来的影响之一是我们需要保留中间值，直到反向传播完成。这也是训练比单纯的预测需要更多的内存（显存）的原因之一。此外，这些中间值的大小与网络层的数量和批量的大小大致成正比。因此，使用更大的批量来训练更深层次的网络更容易导致*内存不足*（out of memory）错误。 ## 小结 * 前向传播在神经网络定义的计算图中按顺序计算和存储中间变量，它的顺序是从输入层到输出层。 * 反向传播按相反的顺序（从输出层到输入层）计算和存储神经网络的中间变量和参数的梯度。 * 在训练深度学习模型时，前向传播和反向传播是相互依赖的。 * 训练比预测需要更多的内存。 ## 练习 1. 假设一些标量函数$\mathbf{X}$的输入$\mathbf{X}$是$n \times m$矩阵。$f$相对于$\mathbf{X}$的梯度维数是多少？ 2. 向本节中描述的模型的隐藏层添加偏置项（不需要在正则化项中包含偏置项）。 1. 画出相应的计算图。 2. 推导正向和反向传播方程。 3. 计算本节所描述的模型，用于训练和预测的内存占用。 4. 假设想计算二阶导数。计算图发生了什么？预计计算需要多长时间？ 5. 假设计算图对当前拥有的GPU来说太大了。 1. 请试着把它划分到多个GPU上。 2. 与小批量训练相比，有哪些优点和缺点？ [Discussions](https://discuss.d2l.ai/t/5769)