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微积分

在2500年前，古希腊人把一个多边形分成三角形，并把它们的面积相加，才找到计算多边形面积的方法。为了求出曲线形状（比如圆）的面积，古希腊人在这样的形状上刻内接多边形。如下图所示，内接多边形的等长边越多，就越接近圆：

• 
• 这个过程也被称为逼近法（method of exhaustion）。

事实上，逼近法就是积分（integral calculus）的起源。2000多年后，微积分的另一支，微分（differential calculus）被发明出来。在微分学最重要的应用是优化问题，即考虑如何把事情做到最好。正如在 范数和目标 中讨论的那样，这种问题在深度学习中是无处不在的。

在深度学习中，我们“训练”模型，不断更新它们，使它们在看到越来越多的数据时变得越来越好。通常情况下，变得更好意味着最小化一个损失函数（loss function），即一个衡量“模型有多糟糕”这个问题的分数。最终，我们真正关心的是生成一个模型，它能够在从未见过的数据上表现良好。但“训练”模型只能将模型与我们实际能看到的数据相拟合。因此，我们可以将拟合模型的任务分解为两个关键问题：

• 优化（optimization）：用模型拟合观测数据的过程；
• 泛化（generalization）：数学原理和实践者的智慧，能够指导我们生成出有效性超出用于训练的数据集本身的模型。

为了帮助读者在后面的章节中更好地理解优化问题和方法，本节提供了一个非常简短的入门教程，帮助读者快速掌握深度学习中常用的微分知识。

导数和微分

我们首先讨论导数的计算，这是几乎所有深度学习优化算法的关键步骤。 在深度学习中，我们通常选择对于模型参数可微的损失函数。 简而言之，对于每个参数， 如果我们把这个参数增加或减少一个无穷小的量，可以知道损失会以多快的速度增加或减少，

假设我们有一个函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ，其输入和输出都是标量。如果 $f$ 的导数存在，这个极限被定义为

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.\text{\hspace{1em}(1.4.1)}$$

如果 $f^{\prime }(a)$ 存在，则称 $f$ 在 $a$ 处是可微（differentiable）的。如果 $f$ 在一个区间内的每个数上都是可微的，则此函数在此区间中是可微的。我们可以将 (1.4.1) 中的导数 $f^{\prime }(x)$ 解释为 $f(x)$ 相对于 $x$ 的瞬时（instantaneous）变化率。所谓的瞬时变化率是基于 $x$ 中的变化 $h$，且 $h$ 接近 $0$ 。

为了更好地解释导数，让我们做一个实验。定义 $u=f(x)=3x^2-4x$ 如下：

%matplotlib inline
from d2l import torch as d2l
from matplotlib_inline import backend_inline
import numpy as np
 
def f(x):
    return 3 * x ** 2 - 4 * x

通过令 $x=1$ 并让 $h$ 接近 $0$，(1.4.1) 中 $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 的数值结果接近 $2$ 。虽然这个实验不是一个数学证明，但稍后会看到，当 $x=1$ 时，导数 $u^{\prime }$ 是 $2$ 。

def numerical_lim(f, x, h):
    return (f(x + h) - f(x)) / h
 
h = 0.1
for i in range(5):
    print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
    h *= 0.1

h=0.10000, numerical limit=2.30000
h=0.01000, numerical limit=2.03000
h=0.00100, numerical limit=2.00300
h=0.00010, numerical limit=2.00030
h=0.00001, numerical limit=2.00003

让我们熟悉一下导数的几个等价符号。给定 $y=f(x)$，其中 $x$ 和 $y$ 分别是函数 $f$ 的自变量和因变量。以下表达式是等价的：

$$f^{\prime }(x)=y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=Df(x)=D_{x}f(x),\text{\hspace{1em}(1.4.2)}$$

其中符号$\frac{d}{dx}$和$D$是微分运算符，表示微分操作。我们可以使用以下规则来对常见函数求微分：

• $DC=0$（$C$是一个常数）
• $D{x}^n=n{x}^{n-1}$（幂律（power rule），$n$是任意实数）
• $D{e}^x=e^x$
• $D\ln (x)=1/x$

为了微分一个由一些常见函数组成的函数，下面的一些法则方便使用。假设函数 $f$ 和 $g$ 都是可微的，$C$ 是一个常数，则：

常数相乘法则

$$\frac{d}{dx}[Cf(x)]=C\frac{d}{dx}f(x),\text{\hspace{1em}(1.4.3)}$$

加法法则

$$\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x),\text{\hspace{1em}(1.4.4)}$$

乘法法则

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]+g(x)\frac{d}{dx}[f(x)],\text{\hspace{1em}(1.4.5)}$$

除法法则

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{g(x)\frac{d}{dx}[f(x)]-f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x){]}^2}.\text{\hspace{1em}(1.4.6)}$$

现在我们可以应用上述几个法则来计算 $u^{\prime }=f^{\prime }(x)=3\frac{d}{dx}{x}^2-4\frac{d}{dx}x=6x-4$。令 $x=1$，我们有 $u^{\prime }=2$：在这个实验中，数值结果接近 $2$，这一点得到了在本节前面的实验的支持。当 $x=1$ 时，此导数也是曲线 $u=f(x)$ 切线的斜率。

为了对导数的这种解释进行可视化，我们将使用 matplotlib，这是一个 Python 中流行的绘图库。要配置 matplotlib 生成图形的属性，我们需要定义几个函数。在下面，use_svg_display 函数指定 matplotlib 软件包输出 svg 图表以获得更清晰的图像。

注意，注释 #@save 是一个特殊的标记，会将对应的函数、类或语句保存在 d2l 包中。因此，以后无须重新定义就可以直接调用它们（例如，d2l.use_svg_display()）。

def use_svg_display():  #@save
    """使用svg格式在Jupyter中显示绘图"""
    backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')

我们定义 set_figsize 函数来设置图表大小。注意，这里可以直接使用 d2l.plt，因为导入语句 from matplotlib import pyplot as plt 已标记为保存到 d2l 包中。

def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):  #@save
    """设置matplotlib的图表大小"""
    use_svg_display()
    d2l.plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize

下面的 set_axes 函数用于设置由 matplotlib 生成图表的轴的属性。

#@save
def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
    """设置matplotlib的轴"""
    axes.set_xlabel(xlabel)
    axes.set_ylabel(ylabel)
    axes.set_xscale(xscale)
    axes.set_yscale(yscale)
    axes.set_xlim(xlim)
    axes.set_ylim(ylim)
    if legend:
        axes.legend(legend)
    axes.grid()

通过这三个用于图形配置的函数，定义一个plot函数来简洁地绘制多条曲线， 因为我们需要在整个书中可视化许多曲线。

#@save
def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
         ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
         fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
    """绘制数据点"""
    if legend is None:
        legend = []
 
    set_figsize(figsize)
    axes = axes if axes else d2l.plt.gca()
 
    # 如果X有一个轴，输出True
    def has_one_axis(X):
        return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)
                and not hasattr(X[0], "__len__"))
 
    if has_one_axis(X):
        X = [X]
    if Y is None:
        X, Y = [[]] * len(X), X
    elif has_one_axis(Y):
        Y = [Y]
    if len(X) != len(Y):
        X = X * len(Y)
    axes.cla()
    for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):
        if len(x):
            axes.plot(x, y, fmt)
        else:
            axes.plot(y, fmt)
    set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)

现在我们可以绘制函数 $u=f(x)$ 及其在 $x=1$ 处的切线 $y=2x-3$，其中系数 $2$ 是切线的斜率。

x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])

偏导数

到目前为止，我们只讨论了仅含一个变量的函数的微分。在深度学习中，函数通常依赖于许多变量。因此，我们需要将微分的思想推广到多元函数（multivariate function）上。

设 $y=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 是一个具有 $n$ 个变量的函数。$y$ 关于第 $i$ 个参数 $x_i$ 的偏导数（partial derivative）为：

$$\frac{\partial y}{\partial x_i}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_1,\dots ,x_{i-1},x_i+h,x_{i+1},\dots ,x_n)-f(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n)}{h}.\text{\hspace{1em}(1.4.7)}$$

为了计算 $\frac{\partial y}{\partial x_i}$ ，我们可以简单地将 $x_1,\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_n$ 看作常数，并计算 $y$ 关于 $x_i$ 的导数。对于偏导数的表示，以下是等价的：

$$\frac{\partial y}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial x_i}=f_{x_i}=f_i=D_{i}f=D_{x_i}f.\text{\hspace{1em}(1.4.8)}$$

梯度

我们可以连结一个多元函数对其所有变量的偏导数，以得到该函数的梯度（gradient）向量。具体而言，设函数 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 的输入是一个 $n$ 维向量 $\mathbf{x}=[x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^{\top }$，并且输出是一个标量。函数 $f(\mathbf{x})$ 相对于 $\mathbf{x}$ 的梯度是一个包含 $n$ 个偏导数的向量:

$${\nabla }_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x})=[\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_1},\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_n}{]}^{\top },\text{\hspace{1em}(1.4.9)}$$

其中 ${\nabla }_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x})$ 通常在没有歧义时被 $\nabla f(\mathbf{x})$ 取代。

假设 $\mathbf{x}$ 为 $n$ 维向量，在微分多元函数时经常使用以下规则:

• 对于所有 $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，都有 ${\nabla }_{\mathbf{x}}\mathbf{Ax}={\mathbf{A}}^{\top }$
• 对于所有 $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$，都有 ${\nabla }_{\mathbf{x}}{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{A}=\mathbf{A}$
• 对于所有 $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，都有 ${\nabla }_{\mathbf{x}}{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{Ax}=(\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\top })\mathbf{x}$
• ${\nabla }_{\mathbf{x}}\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2={\nabla }_{\mathbf{x}}{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{x}=2\mathbf{x}$

同样，对于任何矩阵 $\mathbf{X}$ ，都有 ${\nabla }_{\mathbf{X}}\Vert \mathbf{X}{\Vert }_F^2=2\mathbf{X}$ 。正如我们之后将看到的，梯度对于设计深度学习中的优化算法有很大用处。

链式法则

然而，上面方法可能很难找到梯度。这是因为在深度学习中，多元函数通常是复合（composite）的，所以难以应用上述任何规则来微分这些函数。幸运的是，可以用链式法则来对复合函数进行微分。

让我们先考虑单变量函数。假设函数 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$ 都是可微的，根据链式法则：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}.\text{\hspace{1em}(1.4.10)}$$

现在考虑一个更一般的场景，即函数具有任意数量的变量的情况。假设可微分函数$y$有变量$u_1,u_2,\dots ,u_m$，其中每个可微分函数$u_i$都有变量$x_1,x_2,\dots ,x_n$。注意，$y$是$x_1,x_2，\dots ,x_n$的函数。对于任意$i=1,2,\dots ,n$，链式法则给出：

$$\frac{\partial y}{\partial x_i}=\frac{\partial y}{\partial u_1}\frac{\partial u_1}{\partial x_i}+\frac{\partial y}{\partial u_2}\frac{\partial u_2}{\partial x_i}+\cdots +\frac{\partial y}{\partial u_m}\frac{\partial u_m}{\partial x_i}\text{\hspace{1em}(1.4.11)}$$

小结

• 微分和积分是微积分的两个分支，前者可以应用于深度学习中的优化问题。
• 导数可以被解释为函数相对于其变量的瞬时变化率，它也是函数曲线的切线的斜率。
• 梯度是一个向量，其分量是多变量函数相对于其所有变量的偏导数。
• 链式法则可以用来微分复合函数。

练习

1. 绘制函数$y=f(x)=x^3-\frac{1}{x}$和其在$x=1$处切线的图像。
2. 求函数 $f(\mathbf{x})=3x_1^2+5e^{x_2}$ 的梯度。
3. 函数 $f(\mathbf{x})=\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2$ 的梯度是什么？
4. 尝试写出函数 $u=f(x,y,z)$ ，其中 $x=x(a,b)$，$y=y(a,b)$，$z=z(a,b)$ 的链式法则。

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