40-softmax-regression

softmax 回归

在 2.1 节 中我们介绍了线性回归。随后，在 2.2 节 中我们从头实现线性回归。然后，在 2.3 节 中我们使用深度学习框架的高级 API 简洁实现线性回归。

回归可以用于预测多少的问题。比如预测房屋被售出价格，或者棒球队可能获得的胜场数，又或者患者住院的天数。

事实上，我们也对分类问题感兴趣：不是问“多少”，而是问“哪一个”：

• 某个电子邮件是否属于垃圾邮件文件夹？
• 某个用户可能注册或不注册订阅服务？
• 某个图像描绘的是驴、狗、猫、还是鸡？
• 某人接下来最有可能看哪部电影？

通常，机器学习实践者用分类 (classification) 这个词来描述两个有微妙差别的问题：

1. 我们只对样本的“硬性”类别感兴趣，即属于哪个类别；
2. 我们希望得到“软性”类别，即得到属于每个类别的概率。

这两者的界限往往很模糊。其中的一个原因是：即使我们只关心硬类别，我们仍然使用软类别的模型。

分类问题

我们从一个图像分类问题开始。假设每次输入是一个 $2\times 2$ 的灰度图像。我们可以用一个标量表示每个像素值，每个图像对应四个特征 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 。此外，假设每个图像属于类别“猫”“鸡”和“狗”中的一个。

接下来，我们要选择如何表示标签。我们有两个明显的选择：最直接的想法是选择 $y\in \{1,2,3\}$ ，其中整数分别代表 $\{\text{狗},\text{猫},\text{鸡}\}$。这是在计算机上存储此类信息的有效方法。如果类别间有一些自然顺序，比如说我们试图预测 $\{\text{婴儿},\text{儿童},\text{青少年},\text{青年人},\text{中年人},\text{老年人}\}$，那么将这个问题转变为回归问题，并且保留这种格式是有意义的。

但是一般的分类问题并不与类别之间的自然顺序有关。幸运的是，统计学家很早以前就发明了一种表示分类数据的简单方法：独热编码（one-hot encoding）。独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。在我们的例子中，标签 $y$ 将是一个三维向量，其中 $(1,0,0)$ 对应于“猫”、$(0,1,0)$ 对应于“鸡”、$(0,0,1)$ 对应于“狗”：

$$y\in \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.\text{\hspace{1em}(2.4.1)}$$

网络架构

为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数（affine function）。每个输出对应于它自己的仿射函数。在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别，我们将需要12个标量来表示权重（带下标的 $w$），3个标量来表示偏置（带下标的 $b$）。下面我们为每个输入计算三个未规范化的预测（logit）：$o_1$、$o_2$ 和 $o_3$ 。

$$\begin{array}{rl}{o}_1& =x_1{w}_{11}+x_2{w}_{12}+x_3{w}_{13}+x_4{w}_{14}+b_1,\\ o_2& =x_1{w}_{21}+x_2{w}_{22}+x_3{w}_{23}+x_4{w}_{24}+b_2,\\ o_3& =x_1{w}_{31}+x_2{w}_{32}+x_3{w}_{33}+x_4{w}_{34}+b_3.\end{array}\text{\hspace{1em}(2.4.2)}$$

我们可以用神经网络图来描述这个计算过程：

• 
• 与线性回归一样，softmax 回归也是一个单层神经网络。
• 由于计算每个输出 $o_1$、$o_2$ 和 $o_3$ 取决于所有输入 $x_1$、$x_2$、$x_3$ 和 $x_4$，所以 softmax 回归的输出层也是全连接层。

为了更简洁地表达模型，我们仍然使用线性代数符号。通过向量形式表达为 $\mathbf{o}=\mathbf{Wx}+\mathbf{b}$ ，这是一种更适合数学和编写代码的形式。由此，我们已经将所有权重放到一个 $3\times 4$ 矩阵中。对于给定数据样本的特征 $\mathbf{x}$ ，我们的输出是由权重与输入特征进行矩阵-向量乘法再加上偏置 $\mathbf{b}$ 得到的。

全连接层的参数开销

正如我们将在后续章节中看到的，在深度学习中，全连接层无处不在。然而，顾名思义，全连接层是“完全”连接的，可能有很多可学习的参数。具体来说，对于任何具有 $d$ 个输入和 $q$ 个输出的全连接层，参数开销为 $\mathcal{O}(dq)$，这个数字在实践中可能高得令人望而却步。幸运的是，将 $d$ 个输入转换为 $q$ 个输出的成本可以减少到 $\mathcal{O}(\frac{dq}{n})$，其中超参数 $n$ 可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性 (Zhang.Tay.Zhang.ea.2021)。

softmax运算

现在我们将优化参数以最大化观测数据的概率。为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。

我们希望模型的输出 ${\hat{y}}_j$ 可以视为属于类 $j$ 的概率，然后选择具有最大输出值的类别 ${\mathrm{argmax}}_j{y}_j$ 作为我们的预测。例如，如果 ${\hat{y}}_1$、${\hat{y}}_2$ 和 ${\hat{y}}_3$ 分别为0.1、0.8和0.1，那么我们预测的类别是2，在我们的例子中代表“鸡”。

然而我们能否将未规范化的预测 $o$ 直接视作我们感兴趣的输出呢？答案是否定的。因为将线性层的输出直接视为概率时存在一些问题：

• 一方面，我们没有限制这些输出数字的总和为 1 ；
• 另一方面，根据输入的不同，它们可以为负值。这些违反了 1.6 节 中所说的概率基本公理。

要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。此外，我们需要一个训练的目标函数，来激励模型精准地估计概率。例如，在分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本是刚好有一半实际上属于预测的类别。这个属性叫做校准（calibration）。

社会科学家邓肯·卢斯于1959年在选择模型（choice model）的理论基础上发明的 softmax 函数 正是这样做的：softmax 函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为 1 ，同时让模型保持可导的性质。为了完成这一目标，我们首先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。为了确保最终输出的概率值总和为 1 ，我们再让每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：

$$\hat{\mathbf{y}}=\mathrm{softmax}(\mathbf{o})\text{其中}{\hat{y}}_j=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_k\exp (o_k)}\text{\hspace{1em}(2.4.3)}$$

这里，对于所有的 $j$ 总有 $0\le {\hat{y}}_j\le 1$。因此，$\hat{\mathbf{y}}$ 可以视为一个正确的概率分布。softmax 运算不会改变未规范化的预测 $\mathbf{o}$ 之间的大小次序，只会确定分配给每个类别的概率。因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。

$$\underset{j}{\mathrm{argmax}}{\hat{y}}_j=\underset{j}{\mathrm{argmax}}{o}_j.\text{\hspace{1em}(2.4.4)}$$

尽管 softmax 是一个非线性函数，但 softmax 回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。因此，softmax 回归是一个线性模型（linear model）。

小批量样本的矢量化

为了提高计算效率并且充分利用 GPU，我们通常会对小批量样本的数据执行矢量计算。假设我们读取了一个批量的样本 $\mathbf{X}$，其中特征维度（输入数量）为 $d$，批量大小为 $n$。此外，假设我们在输出中有 $q$ 个类别。那么小批量样本的特征为 $\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$ ，权重为 $\mathbf{W}\in {\mathbb{R}}^{d\times q}$ ，偏置为 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^{1\times q}$ 。softmax 回归的矢量计算表达式为：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{O}& =\mathbf{XW}+\mathbf{b},\\ \hat{\mathbf{Y}}& =\mathrm{softmax}(\mathbf{O}).\end{array}\text{\hspace{1em}(2.4.5)}$$

相对于一次处理一个样本，小批量样本的矢量化加快了 $\mathbf{X}和\mathbf{W}$ 的矩阵-向量乘法。由于 $\mathbf{X}$ 中的每一行代表一个数据样本，那么 softmax 运算可以按行（rowwise）执行：对于 $\mathbf{O}$ 的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。在 2.4.5 中，$\mathbf{XW}+\mathbf{b}$ 的求和会使用广播机制，小批量的未规范化预测 $\mathbf{O}$ 和输出概率 $\hat{\mathbf{Y}}$ 都是形状为 $n\times q$ 的矩阵。

损失函数

接下来，我们需要一个损失函数来度量预测的效果。我们将使用最大似然估计，这与在线性回归（ 2.1.3 节 ）中的方法相同。

对数似然

softmax 函数给出了一个向量 $\hat{\mathbf{y}}$，我们可以将其视为“对给定任意输入 $\mathbf{x}$ 的每个类的条件概率”。例如，${\hat{y}}_1$ = $P(y=\text{猫}\mid \mathbf{x})$。假设整个数据集 $\{\mathbf{X},\mathbf{Y}\}$ 具有 $n$ 个样本，其中索引 $i$ 的样本由特征向量 ${\mathbf{x}}^{(i)}$ 和独热标签向量 ${\mathbf{y}}^{(i)}$ 组成。我们可以将估计值与实际值进行比较：

$$P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})=\prod _{i=1}^{n}P({\mathbf{y}}^{(i)}\mid {\mathbf{x}}^{(i)}).\text{\hspace{1em}(2.4.6)}$$

根据最大似然估计，我们最大化 $P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})$，相当于最小化负对数似然：

$$-\log P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})=\sum _{i=1}^n-\log P({\mathbf{y}}^{(i)}\mid {\mathbf{x}}^{(i)})=\sum _{i=1}^{n}l({\mathbf{y}}^{(i)},{\hat{\mathbf{y}}}^{(i)}),\text{\hspace{1em}(2.4.7)}$$

其中，对于任何标签 $\mathbf{y}$ 和模型预测 $\hat{\mathbf{y}}$，损失函数为：

$$l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=-\sum _{j=1}^q{y}_j\log {\hat{y}}_j.\text{\hspace{1em}(2.4.8)}$$

在本节稍后的内容会讲到，(2.4.8) 中的损失函数通常被称为交叉熵损失（cross-entropy loss）。由于 $\mathbf{y}$ 是一个长度为 $q$ 的独热编码向量，所以除了一个项以外的所有项 $j$ 都消失了。由于所有 ${\hat{y}}_j$ 都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于 $0$。因此，如果正确地预测实际标签，即如果实际标签 $P(\mathbf{y}\mid \mathbf{x})=1$，则损失函数不能进一步最小化。注意，这往往是不可能的。例如，数据集中可能存在标签噪声（比如某些样本可能被误标），或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。

softmax 及其导数

由于 softmax 和相关的损失函数很常见，因此我们需要更好地理解它的计算方式。将 (2.4.3) 代入损失 (2.4.8) 中。利用 softmax 的定义，我们得到：

$$\begin{array}{rl}l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})& =-\sum _{j=1}^q{y}_j\log \frac{\exp (o_j)}{{\sum }_{k=1}^q\exp (o_k)}\\ & =\sum _{j=1}^q{y}_j\log \sum _{k=1}^q\exp (o_k)-\sum _{j=1}^q{y}_j{o}_j\\ & =\log \sum _{k=1}^q\exp (o_k)-\sum _{j=1}^q{y}_j{o}_j.\end{array}\text{\hspace{1em}(2.4.9)}$$

考虑相对于任何未规范化的预测 $o_j$ 的导数，我们得到：

$${\partial }_{o_j}l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_{k=1}^q\exp (o_k)}-y_j=\mathrm{softmax}(\mathbf{o}{)}_j-y_j.\text{\hspace{1em}(2.4.10)}$$

换句话说，导数是我们 softmax 模型分配的概率与实际发生的情况（由独热标签向量表示）之间的差异。从这个意义上讲，这与我们在回归中看到的非常相似，其中梯度是观测值 $y$ 和估计值 $\hat{y}$ 之间的差异。这不是巧合，在任何指数族分布模型中（参见本书附录中关于数学分布的一节），对数似然的梯度正是由此得出的。这使梯度计算在实践中变得容易很多。

交叉熵损失

现在让我们考虑整个结果分布的情况，即观察到的不仅仅是一个结果。对于标签 $\mathbf{y}$，我们可以使用与以前相同的表示形式。唯一的区别是，我们现在用一个概率向量表示，如 $(0.1,0.2,0.7)$，而不是仅包含二元项的向量 $(0,0,1)$。我们使用 (2.4.8) 来定义损失 $l$ ，它是所有标签分布的预期损失值。此损失称为交叉熵损失（cross-entropy loss），它是分类问题最常用的损失之一。本节我们将通过介绍信息论基础来理解交叉熵损失。如果想了解更多信息论的细节，请进一步参考本书附录中关于信息论的一节。

信息论基础

信息论（information theory）涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。

熵

信息论的核心思想是量化数据中的信息内容。在信息论中，该数值被称为分布 $P$ 的熵（entropy）。可以通过以下方程得到：

$$H[P]=\sum _j-P(j)\log P(j).\text{\hspace{1em}(2.4.11)}$$

信息论的基本定理之一指出，为了对从分布 $p$ 中随机抽取的数据进行编码，我们至少需要 $H[P]$ “纳特（nat）”对其进行编码。“纳特”相当于比特（bit），但是对数底为 $e$ 而不是2。因此，一个纳特是 $\frac{1}{\log (2)}\approx 1.44$ 比特。

信息量

压缩与预测有什么关系呢？想象一下，我们有一个要压缩的数据流。如果我们很容易预测下一个数据，那么这个数据就很容易压缩。为什么呢？举一个极端的例子，假如数据流中的每个数据完全相同，这会是一个非常无聊的数据流。由于它们总是相同的，我们总是知道下一个数据是什么。所以，为了传递数据流的内容，我们不必传输任何信息。也就是说，“下一个数据是xx”这个事件毫无信息量。

但是，如果我们不能完全预测每一个事件，那么我们有时可能会感到”惊异”。克劳德·香农决定用信息量 $\log \frac{1}{P(j)}=-\log P(j)$ 来量化这种惊异程度。在观察一个事件 $j$ 时，并赋予它（主观）概率 $P(j)$ 。当我们赋予一个事件较低的概率时，我们的惊异会更大，该事件的信息量也就更大。在 (2.4.11) 中定义的熵，是当分配的概率真正匹配数据生成过程时的信息量的期望。

重新审视交叉熵

如果把熵 $H(P)$ 想象为“知道真实概率的人所经历的惊异程度”，那么什么是交叉熵？交叉熵从$P$到$Q$，记为 $H(P,Q)$。我们可以把交叉熵想象为“主观概率为 $Q$ 的观察者在看到根据概率 $P$ 生成的数据时的预期惊异”。当 $P=Q$ 时，交叉熵达到最低。在这种情况下，从 $P$ 到 $Q$ 的交叉熵是 $H(P,P)=H(P)$ 。

简而言之，我们可以从两方面来考虑交叉熵分类目标：

1. 最大化观测数据的似然；
2. 最小化传达标签所需的惊异。

模型预测和评估

在训练softmax回归模型后，给出任何样本特征，我们可以预测每个输出类别的概率。通常我们使用预测概率最高的类别作为输出类别。如果预测与实际类别（标签）一致，则预测是正确的。在接下来的实验中，我们将使用精度（accuracy）来评估模型的性能。精度等于正确预测数与预测总数之间的比率。

小结

• softmax运算获取一个向量并将其映射为概率。
• softmax回归适用于分类问题，它使用了softmax运算中输出类别的概率分布。
• 交叉熵是一个衡量两个概率分布之间差异的很好的度量，它测量给定模型编码数据所需的比特数。

练习

1. 我们可以更深入地探讨指数族与softmax之间的联系。

   1. 计算softmax交叉熵损失$l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})$的二阶导数。
   2. 计算 $\mathrm{softmax}(\mathbf{o})$ 给出的分布方差，并与上面计算的二阶导数匹配。

2. 假设我们有三个类发生的概率相等，即概率向量是 $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$。

   1. 如果我们尝试为它设计二进制代码，有什么问题？
   2. 请设计一个更好的代码。提示：如果我们尝试编码两个独立的观察结果会发生什么？如果我们联合编码$n$个观测值怎么办？

3. softmax是对上面介绍的映射的误称（虽然深度学习领域中很多人都使用这个名字）。真正的softmax被定义为$\mathrm{RealSoftMax}(a,b)=\log (\exp (a)+\exp (b))$。

   1. 证明$\mathrm{RealSoftMax}(a,b)>\max (a,b)$。
   2. 证明 ${\lambda }^{-1}\mathrm{RealSoftMax}(\lambda a,\lambda b)>\max (a,b)$ 成立，前提是 $\lambda >0$。
   3. 证明对于 $\lambda \to \infty$，有 ${\lambda }^{-1}\mathrm{RealSoftMax}(\lambda a,\lambda b)\to \max (a,b)$。
   4. soft-min 会是什么样子？
   5. 将其扩展到两个以上的数字。

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